色母粒加入百分比换算原理
一言以蔽之:当两规格纤维颜色相同时，其母粒加入量比值为两纤维单丝截面孔径比之倒数
$$ \frac{A}{V}\propto\frac{1}{d} \Rightarrow \frac{J_a}{J_b} = \frac{\sqrt{D_b}}{\sqrt{D_a}}=\sqrt{\frac{D_b}{D_a}} $$
原理-比表面积
- 纱线颜色由单丝颜色决定。
- 单丝颜色与单丝表面积相关，色光由单丝表面反射。
- 单丝颜色与单丝体积相关，色粉通过母粒均匀分布在单丝内。
- 颜色是均匀分布在单丝表面的。
结论：单丝体表单位面积内色粉含量相同时单丝颜色相同
前提条件
假设存在 a 和 b 两种不同规格的 POY，使用同一种色母粒，
符号及字母表征
- 两种规格的丝：$a$与$b$
- 纤度：$D$,单丝纤度：$dpf$ (dtex per fibre)
- 定长：$L$
- 体积：$V$,$a$ 体积为$V_a$ , $b$ 体积为 $V_b$
- 侧面积：$A$，$a$ 侧面积为$A_a$ ,$b$ 侧面积为 $A_b$
- 截面积：$S$ , $a$ 截面积为$S_a$ ,$b$ 截面积为 $S_b$
- 截面直径：$d$，截面半径：$r$
- 加入百分比：$a $中色母粒加入百分比为 $J_a$ , $b$ 中色母粒加入百分比为 $J_b$
相关推导
引入比表面积原理，根据原理“单丝体表单位面积内色粉含量相同时单丝颜色相同”，比表面积能够很好地表示单位体积纤维表面积的色粉分布情况，可以用 $\frac{A}{V}$ 表示，其中 $A$ 表示纤维表面积， $V$ 表示纤维体积。 当不同纤维的AV比趋近相同时，颜色也趋近相同。
将单丝视作一个圆柱体，其表面积 $A$ 则视作圆柱的展开侧面积，
其计算公式为：$A = 2\pi r\cdot L$
其体积 $V$ 计算公式为：$V = S\cdot L$
其中，截面积 $S = \pi r^2$
由此可得 $\frac{A}{V}$ 计算为：
$$ \frac{A}{V} = \frac{2\pi r\cdot L}{S\cdot L} = \frac{2\pi r}{\pi r^2} = \frac{2}{r} = \frac{4}{d} $$
由此可得
$$ \frac{A}{V}\propto\frac{1}{d} $$
以上可以得到决定颜色的AV比与单丝孔径呈反比，可得：
$$ \frac{J_a}{J_b} = \frac{d_b}{d_a} $$
然而单丝的孔径过于微细不便测量，却可以通过已知的其他条件转换计算，即对于单丝体积和质量的转换计算。
引入纤度概念，此处使用的纤度单位为dtex，即表示每10000米长的纱线的质量，已知$D_a=a’$,$D_b=b’$,假设$L=10000 m$,$M_a=a’$,$M_b=b’$.
由物质密度公式可得$V=\frac{M}{\rho}$，故而体积$V$存在两种表达方式：
$$ V=S\cdot L=\pi r^2\cdot L=\frac{M}{\rho} $$
为求$d$，则将$r$取出求
$$ r^2=\frac{M}{\rho\pi L}\Rightarrow r=\sqrt{\frac{M}{\rho\pi L}} $$
已知两丝材质相同且加入为同一母粒，故而 $\rho$ 相同，且常数$\pi$与$L$于二纤维无差异，即可得：
$$ \frac{d}{2}=r\propto\sqrt{M}\Rightarrow\frac{J_a}{J_b} = \sqrt{\frac{M_b}{M_a}} $$
质量由纤度决定，故而最终可得：
$$ \frac{J_a}{J_b} = \sqrt{\frac{D_b}{D_a}} $$